Come si calcolano i fattori
Che cos'è un fattore in matematica?
Un fattore di un numero è un numero che divide il numero dato in modo uniforme o esatto, senza lasciare resto.
Si noti che quando si studiano i fattori di un numero, si considerano solo gli interi positivi. Un fattore non può essere una frazione o un decimale. Inoltre, poiché la divisione per 0 non è definita, 0 non può essere un fattore di qualsiasi numero.
Per verificare se x è un fattore di un certo numero n, è sufficiente dividere n per x. Se il resto è 0, allora x è un fattore di n. In caso contrario, x non è un fattore di n.
Esempi:
| Divisione | Resto | Il numero è un fattore? |
|---|---|---|
| $21 \div 7 = 3$ | Resto $= 0$ | Sì, 7 è un fattore di 21. |
| $6 \div 3 = 2$ | Resto $= 0$ | Sì, 3 è un fattore 6. |
| $8 \div 2 = 4$ | Resto $= 0$ | Sì, 2 è un fattore di 8. |
| $5 \div 1 = 5$ | Resto $= 0$ | Sì, 1 è un fattore di 5. |
Sappiamo che la divisione e la moltiplicazione sono operazioni inverse (operazioni opposte). Quindi, possiamo anche definire i fattori in matematica in termini di moltiplicazione.
Se possiamo esprimere il numero dato come il prodotto di due numeri interi positivi, allora entrambi gli interi sono fattori del numero dato. Una formula generale da ricordare è che a e b sono fattori del prodotto ab.
Esempi:
| Fattori del prodotto | |
|---|---|
| $7 \times 3 = 21$ | Sia 7 che 3 sono fattori di 21. |
| $2 \times 4 = 8$ | Sia 2 che 4 sono fattori di 8. |
| $2 \times 3 = 6$ | Sia 2 che 3 sono fattori di 6. |
| $9 \times 3 = 27$ | Sia 3 che 9 sono fattori di 27. |
| $7 \times 5 = 35$ | Sia 5 che 7 sono fattori di 35. |
Fattore di un numero: definizione
Un fattore di un numero può essere definito come un numero che divide il numero dato senza lasciare alcun resto.
Come trovare i fattori di un numero
Esistono diversi metodi per trovare fattori, come la moltiplicazione e la divisione. Possiamo anche usare le regole di divisibilità per trovare i fattori di un numero controllando se il numero dato è divisibile per un certo insieme di numeri o meno.
Trovare i fattori di un numero con il metodo della moltiplicazione (grassetto)
Se possiamo esprimere il numero dato come il prodotto di due numeri interi, allora il I numeri moltiplicati sono fattori del prodotto.
Quindi, per trovare tutti i fattori di un numero, trova tutte le coppie di numeri che, moltiplicate, danno il numero dato come prodotto.
Esempio 1: Consideriamo il numero 8. 8 può essere scritto come
$8 = 1 \times 8
$$8 = 2 \times 4$
Di conseguenza, i fattori di 8 sono 1, 2, 4, 8.
Esempio 2:
| Fattori del prodotto di 18 | |
|---|---|
| $1 \times 18 = 18$ | I fattori di 18 sono 1, 2, 3, 6, 9 e 18. |
| $2 \times 9 = 18$ | |
| $3 \times 6 = 18$ |
Trovare i fattori di un numero con il metodo della divisione (grassetto)
Possiamo trovare il fattori di un numero dividendo il numero per tutti i divisori possibili.
Per trovare tutti i fattori di un numero n usando il metodo della divisione, dividi il numero per tutti i numeri naturali minori di n. Identifica i numeri che dividono completamente il numero dato. Si
noti che quando si identifica uno di questi fattori con il metodo della divisione, anche il quoziente ottenuto in quella divisione è un fattore.
Esempio: Trova tutti i fattori del numero 10.
| Divisione | Il numero è un fattore di 10? |
| $10 \div 1 = 10$ e resto $= 0$ | Sì, 1 è un fattore di 10.( Inoltre, il quoziente 10 è anche un fattore di 10.) |
| $10 \div 2 = 5$ e resto $= 0$ | Sì, 2 è un fattore di 10.( Inoltre, 5 è anche un fattore di 10.) |
| $10 \div 3 = 3$ e resto $= 1$ | No, 3 non è un fattore 10. |
| $10 \div 4 = 2$ e resto $= 2$ | No, 4 non è un fattore di 10. |
| $10 \div 5 = 2$ e resto $= 0$ | Sì, 5 è un fattore di 10. |
| $10 \div 6 = 1$ e resto $= 4$ | No, 6 non è un fattore di 10. |
| $10 \div 7 = 1$ e resto $= 3$ | No, 7 non è un fattore di 10. |
| $10 \div 8 = 1$ e resto $= 2$ | No, 8 non è un fattore di 10. |
| $10 \div 9 = 1$ e resto $= 1$ | No, 9 non è un fattore di 10. |
| $10 \div 10 = 1$ e resto $= 0$ | Sì, 10 è un fattore di 10. |
Pertanto, i fattori di 10 sono 1, 2, 5 e 10.
Proprietà dei fattori
- Il fattore più piccolo di qualsiasi numero è 1.
- Il fattore più grande di qualsiasi numero è il numero stesso.
- Tutti i numeri interi hanno un numero finito di fattori.
- Un fattore è sempre minore o uguale al numero; non può mai essere più grande del numero.
- Ad eccezione di 0 e 1, ogni numero intero ha un minimo di due fattori: 1 e il numero stesso.
Coppie di fattori
Una coppia di fattori si riferisce alla coppia di numeri interi che, moltiplicati insieme, ci danno il numero richiesto. Le coppie di fattori di un numero non includono le frazioni.
Come accennato in precedenza, consideriamo solo i fattori positivi quando studiamo o elenchiamo i fattori di un numero. Tuttavia, il concetto di coppie di fattori include sia numeri interi positivi che negativi.
Per ogni coppia di fattori positivi, abbiamo una corrispondente coppia di fattori negativi, poiché il prodotto di due numeri interi negativi è sempre positivo.
| Coppie di fattori positivi di 14 | Coppie di fattori negativi di 14 |
|---|---|
| $1 \times 14 = 14 \rightarrow (1, 14)$ | $(\;-\; 1) \times (\;-\; 14) \freccia destra = 14 (\;-\; 1,\; \;-\; 14)$ |
| $2 \times 7 = 14 \Rightarrow (2, 7)$ | $(\;-\; 2)\volte (\;-\; 7) = 14 \freccia destra (\;-\; 2,\; \;-\; 7)$ |
Diversi tipi di fattori
- Fattori primi: I fattori di un numero che sono anche numeri primi sono chiamati fattori primi. I numeri primi sono numeri che hanno solo due fattori, l'1 e il numero stesso.
Ad esempio, i fattori di 6 sono 1, 2, 3 e 6. Di questi, i fattori primi di 6 sono 2 e 3.
- Fattori comuni: i fattori comuni di due numeri sono i fattori comuni a (o condivisi da) entrambi i numeri.
Fattori di 4: 1, 2 , 4
Fattori di 6: 1, 2 , 3,
6 Fattori comuni di 4 e 6: 1, 2
- Massimo comune divisore: Il numero maggiore tra i fattori comuni identificati tra i due numeri è chiamato Massimo comune divisore (MCD). Nell'esempio precedente, i fattori comuni di 4 e 6 sono 1 e 2. Il MCD è 2.
Quando
scriviamo un numero come prodotto di tutti i suoi fattori primi, si parla di scomposizione in fattori primi. Ogni numero in scomposizione in fattori primi è un numero primo. Per scrivere il numero come prodotto di fattori primi, a volte potrebbe essere necessario ripetere anche i fattori.
Esempio 1: Per scrivere la scomposizione in fattori primi di 8, possiamo scrivere
$8 = 2 \times 2 \times 2$
Il fattore primo 2 viene ripetuto tre volte.
Esempio 2: Fattorizzazione in fattori primi di 30
$30 = 2 \times 3 \times 5$
Applicazioni reali della fattorizzazione
Divisione equa: se sei persone si riuniscono per mangiare una pizza intera che è stata tagliata in 24 fette, sarebbe giusto che tutti ricevano lo stesso numero di fette. Pertanto, questa pizza può essere divisa in parti uguali perché 6 (il numero di persone) è un fattore di 24 (il numero di fette di pizza). Quando dividi 24 per 6, ottieni 4 e ogni individuo riceve quattro fette!
Factoring e moneta: lo scambio di denaro e le sue divisioni in unità più piccole dipendono fortemente dal factoring. Ad esempio, quattro quarti equivalgono a un dollaro in America.
Fatti sui fattori
- Se un numero ha più di due fattori (ma un numero finito di fattori), si chiama numero composto.
- I fattori non sono mai decimali o frazioni, sono solo numeri interi.
- Tutti i numeri pari hanno 2 come fattore comune.
- 5 è un fattore di tutti i numeri che terminano con 0 e 5.
- Tutti i numeri che terminano con uno 0 hanno 2, 5 e 10 come fattori.
- Se la scomposizione in fattori primi di un numero è della forma $p^{a}\; q^{b}$, dove p e q sono i suoi
fattori primi, allora il numero totale di fattori di un dato numero è dato da
$(a + 1)(b + 1)$, dove a e b sono gli esponenti nella scomposizione in fattori primi.
Esempio: $18 = 2^{1} \times 3^{2}$
Numero totale di fattori di $18 = (1 + 1)(2 + 1) = 6$
I fattori di 18 sono 1, 2, 3, 6, 9, 18.
Esempi risolti sul fattore in matematica
Esempio 1: trova tutti i fattori di 20.
Soluzione:
Passaggio 1: scrivi tutti i numeri da 1 a 20.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
Passaggio 2: ora controlla quali di questi numeri sono divisibili per 20 e non lasciano resto.
$20 \div 1 = 20$ e resto $= 0$
$20 \div 2 = 10$ e resto $= 0$
$20 \div 3 = 6$ e resto $= 2$ (non divisibile)
Continua a dividere 20 per ciascuno di questi numeri.
Passaggio 3: i fattori di 20 sono 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Esempio 2: trova tutti i fattori di 31.
Soluzione:
31 è un numero primo. Gli unici due numeri che dividono completamente il 31 sono l'1 e il 31.
Pertanto, i fattori di 31 sono 1 e 31.
Esempio 3: Trova i fattori primi di 144.
Soluzione:
La fattorizzazione in fattori primi è il metodo per esprimere un dato numero come prodotto dei suoi fattori primi. I fattori primi sono fattori che sono anche numeri primi. I fattori di ogni numero primo sono 1 e il numero stesso. Ad esempio, 13 è un numero primo perché i fattori di questo numero sono 1 e 13.
Considera il numero 144. Inizia dividendo 144 per il più piccolo fattore primo possibile, che è 2.
$144 = 2 \times 72$
$144 = 2 \times 2 \times 36$
$144 = 2 \times 2 \times 2 \times 18$
$144 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 9$
$ 144 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3$
Quindi, i fattori primi di 144 sono 2 e 3.
Problemi pratici sul fattore in matematica
Fattore in matematica - Definizione, Tipi, Proprietà, Esempi, Fatti
Partecipa a questo quiz e metti alla prova le tue conoscenze.
1, 2, 5, 10
1, 2, 3, 7
3, 5, 9, 10
1, 3, 5, 10
La risposta corretta è: 1, 2, 5, 10
I fattori di 10 sono 1, 2, 5 e 10.
Possiamo facilmente eliminare tutte le altre opzioni in cui è presente il fattore 3 poiché il numero 3 non divide completamente il numero 10.
3, 9, 27, 1
1, 3, 9, 4
5, 9, 4, 0
2, 3, 5, 1
La risposta corretta è: 3, 9, 27, 1
I fattori di 27 sono 1, 3, 9 e 27.
Si noti che possiamo facilmente eliminare altre opzioni poiché i numeri 4 e 5 non sono fattori di 27.
1, 3, 6, 7, 9
2, 6, 12, 1, 0
4, 3, 12, 9
1, 2, 3, 4, 6, 12
La risposta corretta è: 1, 2, 3, 4, 6, 12
I fattori di 12 sono 1, 2, 3, 4, 6 e 12.
Questi numeri dividono equamente 12.
5, 10, 15, 1
1, 3, 5, 15
3, 5, 7
1, 2, 3, 5
La risposta corretta è: 1, 3, 5, 15
Non c'è resto quando 15 viene diviso per 1, 3, 5 e 15.
Domande frequenti sulla fattorizzazione
Quali sono i fattori in matematica?
Un fattore è un numero che può essere moltiplicato per creare un numero specifico in matematica (ad esempio, 5 e 8 sono fattori di 40).
Come viene utilizzato il factoring nella vita reale?
Nella vita reale, il factoring è un'abilità preziosa. Le applicazioni tipiche includono la divisione di qualcosa in parti uguali, lo scambio di denaro, il confronto dei prezzi, la comprensione del tempo e l'esecuzione di calcoli durante il viaggio.
Qual è l'importanza di conoscere i fattori primi? I
numeri primi vengono utilizzati nella scomposizione in fattori primi per scomporre i numeri composti nei loro fattori primi, il che è importante in vari calcoli matematici e nella risoluzione dei problemi. Possiamo facilmente trovare MCM e MCD di due numeri utilizzando la scomposizione in fattori primi. I numeri primi hanno anche importanti applicazioni nella teoria dei numeri, nella crittografia e nel campo della sicurezza informatica.
Come si trova il fattore in matematica?
Ecco una guida passo passo per trovare il fattore di qualsiasi numero in matematica.
- Inizia considerando i numeri naturali più piccoli come 2, 3, ecc.
- Dividi il numero per il numero naturale più piccolo per cui potrebbe essere diviso.
- Continua a dividere il numero per il numero naturale più piccolo possibile, che dà 0 come resto.
- Fermati quando il numero è completamente diviso per dare 1 come quoziente.
- I numeri che hai usato per dividere il numero originale sono i fattori del numero.
Cosa significa fattore in matematica?
Il significato del termine "fattore" in matematica può essere spiegato come un numero che divide esattamente il numero dato con il resto 0.
È un fattore nella moltiplicazione?
Se moltiplichiamo due numeri per ottenere un prodotto, ciascuno dei numeri moltiplicati è considerato un fattore del prodotto.
Quali sono i fattori di 24?
I fattori di 24 sono 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.