Come funzionano i collettori
Per
altri usi, vedi Varietà (disambigua).
In matematica, una varietà è uno spazio topologico che assomiglia localmente allo spazio euclideo vicino ad ogni punto. Più precisamente, una varietà -dimensionale, o -varietà in breve, è uno spazio topologico con la proprietà che ogni punto ha un intorno che è omeomorfo a un sottoinsieme aperto di uno spazio euclideo -dimensionale.
Le varietà unidimensionali includono linee e cerchi, ma non curve autoincrocianti come una figura 8. Le varietà bidimensionali sono anche chiamate superfici. Gli esempi includono il piano, la sfera e il toroide, e anche la bottiglia di Klein e il piano proiettivo reale.
Il concetto di varietà è centrale in molte parti della geometria e della fisica matematica moderna perché permette Strutture complicate da descrivere in termini di proprietà topologiche ben comprese di spazi più semplici. Le varietà sorgono naturalmente come insiemi di soluzioni di sistemi di equazioni e come grafici di funzioni. Il concetto ha applicazioni nella computer-grafica data la necessità di associare le immagini alle coordinate (ad esempio le scansioni TC).
I collettori possono essere dotati di una struttura aggiuntiva. Un'importante classe di varietà sono le varietà differenziabili; La loro struttura differenziabile consente di eseguire il calcolo. Una metrica riemanniana su una varietà consente di misurare distanze e angoli. Le varietà simplettiche fungono da spazi delle fasi nel formalismo hamiltoniano della meccanica classica, mentre le varietà lorentziane quadridimensionali modellano lo spazio-tempo nella relatività generale.
Lo studio delle varietà richiede una conoscenza pratica del calcolo e della topologia.
Dopo una retta, un cerchio è l'esempio più semplice di varietà topologica. La topologia ignora la flessione, quindi un piccolo pezzo di un cerchio viene trattato allo stesso modo di un piccolo pezzo di una linea. Considerando, ad esempio, la parte superiore del cerchio unitario, x 2 + y 2 = 1, dove la coordinata y è positiva (indicata dall'arco giallo nella Figura 1 ). Ogni punto di questo arco può essere descritto in modo univoco dalla sua coordinata x . Quindi, la proiezione sulla prima coordinata è una mappatura continua e invertibile dall'arco superiore all'intervallo aperto (-1, 1):
tali funzioni insieme alle regioni aperte che mappano sono chiamate grafici . Allo stesso modo, ci sono grafici per le parti inferiore (rossa), sinistra (blu) e destra (verde) del cerchio:
insieme, queste parti coprono l'intero cerchio e le quattro carte formano un atlante per il cerchio.
La parte superiore e quella destra I grafici, e rispettivamente, si sovrappongono nel loro dominio: la loro intersezione si trova nel quarto del cerchio dove entrambe le coordinate e sono positive. Entrambi mappano questa parte nell'intervallo, anche se in modo diverso. Così si può costruire una funzione, che prende i valori dal co-dominio di back al cerchio usando l'inverso, seguito da back to the interval. Se a è un numero qualsiasi in , allora:
Tale funzione è chiamata mappa di transizione .
I grafici superiore, inferiore, sinistro e destro non formano l'unico atlante possibile. I grafici non devono essere proiezioni geometriche e il numero di grafici è una questione di scelta. Si considerino i grafici e
Qui s è la pendenza della retta attraverso il punto alle coordinate ( x , y ) e il punto di rotazione fisso (-1, 0); allo stesso modo, t è l'opposto della pendenza della retta attraverso i punti alle coordinate ( x , y ) e (+1, 0). La mappatura inversa da s a ( x , y ) è data da
Si può confermare che x 2 + y 2 = 1 per tutti i valori di s e t . Questi due grafici forniscono un secondo atlante per il cerchio, con la mappa di transizione (cioè, si ha questa relazione tra s e t per ogni punto in cui s e t sono entrambi diversi da zero).
Ogni grafico omette un singolo punto, o (-1, 0) per s o (+1, 0) per t , quindi nessuno dei due grafici da solo è sufficiente a coprire l'intero cerchio. Si può dimostrare che non è possibile coprire l'intero cerchio con un unico grafico. Ad esempio, sebbene sia possibile costruire un cerchio da un intervallo di una singola linea sovrapponendo e "incollando" le estremità, questo non produce un grafico; Una parte del cerchio verrà mappata su entrambi finisce subito, perdendo l'invertibilità.
Sfera
La sfera è un esempio di superficie. La sfera unitaria dell'equazione implicita
- x 2 + y 2 + z 2 – 1 = 0
può essere coperta da un atlante di sei grafici: il piano z = 0 divide la sfera in due semisfere ( z > 0 e z < 0), che possono essere entrambe mappate sul disco x 2 + y 2 < 1 dalla proiezione sulla xy piano delle coordinate. In questo modo vengono forniti due grafici; Gli altri quattro grafici sono forniti da una costruzione simile con gli altri due piani di coordinate.
Come per il cerchio, si può definire un grafico che copre l'intera sfera escludendo un punto. Quindi due grafici sono sufficienti, ma la sfera non può essere coperta da un singolo grafico.
Questo esempio è storicamente significativo, in quanto lo è stato motivato la terminologia; divenne evidente che l'intera superficie terrestre non può avere una rappresentazione piana costituita da un'unica mappa (chiamata anche "carta", vedi carta nautica), e quindi sono necessari atlanti per coprire l'intera superficie terrestre.
Le
varietà non devono essere collegate (tutte in "un unico pezzo"); un esempio è una coppia di cerchi separati.
Le varietà non devono essere chiuse; quindi un segmento di linea senza i suoi punti finali è una varietà. Non sono mai numerabili, a meno che la dimensione della varietà non sia 0. Mettendo insieme queste libertà, altri esempi di varietà sono una parabola, un'iperbole e il luogo dei punti su una curva cubica y 2 = x 3 − x (un pezzo ad anello chiuso e un pezzo aperto e infinito).
Tuttavia, sono esclusi esempi come due cerchi che si toccano e che condividono un punto per formare una figura a 8; al punto, non è possibile creare un grafico soddisfacente. Anche con la flessione consentita dalla topologia, la vicinanza del punto condiviso sembra un "+", non una linea. Un "+" non è omeomorfo per un segmento di linea, poiché eliminando il punto centrale dal "+" si ottiene uno spazio con quattro componenti (cioè pezzi), mentre l'eliminazione di un punto da un segmento di linea dà uno spazio con al massimo due pezzi; Le operazioni topologiche preservano sempre il numero di pezzi.
Definizione matematica Ulteriori
informazioni: Categorie di varietà
Informalmente, una varietà è uno spazio che è "modellato su" lo spazio euclideo.
Ci sono molti tipi diversi di varietà. In geometria e topologia, tutte le varietà sono varietà topologiche, possibilmente con struttura aggiuntiva. Una varietà può essere costruita fornendo una collezione di grafici di coordinate, cioè una copertura di insiemi aperti con omeomorfismi in uno spazio euclideo, e patching funzioni [ chiarimento necessario ] : omeomorfismi da una regione dello spazio euclideo a un'altra regione se corrispondono alla stessa parte della varietà in due diversi grafici di coordinate. A una varietà può essere data una struttura aggiuntiva se le funzioni di patching soddisfano assiomi oltre la continuità. Ad esempio, le varietà differenziabili hanno omeomorfismi su inintorno sovrapposti diffeomorfi tra loro, in modo che la varietà abbia un insieme ben definito di funzioni che sono differenziabili in ogni intorno, quindi differenziabili sulla varietà nel suo insieme.
Formalmente, una varietà (topologica) è un secondo spazio numerabile di Hausdorff che è localmente omeomorfo a uno spazio euclideo.
Il secondo numerabile e Hausdorff sono condizioni di insiemi di punti; il secondo numerabile esclude gli spazi che sono in un certo senso 'troppo grandi' come la linea lunga, mentre Hausdorff esclude spazi come "la retta con due origini" (queste generalizzazioni di varietà sono discusse in varietà non-Hausdorff).
Localmente omeomorfo a uno spazio euclideo significa che ogni punto ha un intorno omeomorfo a un sottoinsieme aperto dello spazio euclideo per qualche intero non negativo n.
Ciò implica che o il punto è un punto isolato (se ), o ha un vicinato omeomorfo alla palla aperta Ciò implica anche che ogni punto ha un vicinato omeomorfo a poiché è omeomorfo, e anche diffeomorfo a qualsiasi palla aperta in esso contenuta (per ).
La n che appare nella definizione precedente è chiamata dimensione locale della varietà. Generalmente si considera che le varietà abbiano una dimensione locale costante, e la dimensione locale è quindi chiamata dimensione della varietà. Questo è, in particolare, il caso in cui i collettori sono collegati. Tuttavia, alcuni autori ammettono varietà che sono non collegati e dove punti diversi possono avere dimensioni diverse. [1] Se una varietà ha una dimensione fissa, questo può essere enfatizzato chiamandola varietà pura . Ad esempio, la sfera (superficie di a) ha una dimensione costante di 2 ed è quindi una varietà pura, mentre l'unione disgiunta di una sfera e di una retta nello spazio tridimensionale non è una varietà pura. Poiché la dimensione è un invariante locale (cioè la mappa che invia ogni punto alla dimensione del suo vicinato su cui è definito un grafico, è localmente costante), ogni componente connesso ha una dimensione fissa.
Teoricamente, una varietà è uno spazio localmente ad anello, la cui struttura è localmente isomorfa al fascio di funzioni continue (o differenziabili, o complesso-analitiche, ecc.) sullo spazio euclideo. Questa definizione è usata soprattutto quando si discute di varietà analitiche in geometria algebrica.
Grafici
Articolo principale: Atlante (topologia)
Vedi anche: Varietà differenziabile
La Terra sferica viene navigata utilizzando mappe piatte o grafici, raccolti in un atlante. Allo stesso modo, una varietà può essere descritta utilizzando mappe matematiche, chiamate grafici di coordinate , raccolte in un atlante matematico . In genere non è possibile descrivere una varietà con un solo grafico, perché la struttura globale della varietà è diversa dalla struttura semplice dei grafici. Ad esempio, nessuna singola mappa piatta può rappresentare l'intera Terra senza la separazione delle caratteristiche adiacenti attraverso i confini della mappa o la duplicazione della copertura. Quando una varietà è costruita da più grafici sovrapposti, le regioni in cui si sovrappongono contengono informazioni essenziali per comprendere la struttura globale.
Articolo
principale: Grafico delle coordinate
Una mappa delle coordinate , un grafico di coordinate , o semplicemente un grafico , di una varietà è una mappa invertibile tra un sottoinsieme della varietà e uno spazio semplice tale che sia la mappa che il suo inverso conservano la struttura desiderata. [2] Per una varietà topologica, lo spazio semplice è un sottoinsieme di uno spazio euclideo e l'interesse si concentra sulla struttura topologica. Questa struttura è preservata dagli omeomorfismi, mappe invertibili che sono continue in entrambe le direzioni.
Nel caso di una varietà differenziabile, un insieme di grafici chiamati atlante , le cui funzioni di transizione (vedi sotto) sono tutte differenziabili, ci permette di fare calcoli su di essa. Le coordinate polari, ad esempio, formano un grafico per il piano meno l'asse x positivo e l'origine. Un altro esempio di grafico è la mappa χ top menzionata sopra, un grafico per il cerchio.
Articolo
principale: Atlas (topologia)
La descrizione della maggior parte delle varietà richiede più di un grafico. Una raccolta specifica di grafici che copre una varietà è chiamata atlante . Un atlante non è univoco in quanto tutte le varietà possono essere coperte in più modi utilizzando diverse combinazioni di grafici. Due atlanti si dicono equivalenti se la loro unione è anche un atlante.
L'atlante contenente tutte le possibili carte coerenti con un dato atlante è chiamato atlante massimale (cioè una classe di equivalenza contenente quell'atlante dato). A differenza di un atlante ordinario, l'atlante massimale di una data varietà è unico. Sebbene utile per le definizioni, è un oggetto astratto e non viene utilizzato direttamente (ad esempio nei calcoli).
Mappe di transizione
I grafici di un atlante possono sovrapporsi e un singolo punto di una varietà può essere rappresentato in diversi grafici. Se due grafici si sovrappongono, parti di essi rappresentano la stessa regione della varietà, proprio come una mappa di L'Europa e una mappa della Russia possono contenere entrambe Mosca. Dati due grafici sovrapposti, si può definire una funzione di transizione che va da una sfera aperta alla varietà e poi di nuovo a un'altra (o forse la stessa) sfera aperta in . La mappa risultante, come la mappa T nell'esempio del cerchio sopra, è chiamata cambiamento di coordinate , trasformazione di coordinate , funzione di transizione o mappa di transizione .
Struttura aggiuntiva
Un atlante può essere utilizzato anche per definire una struttura aggiuntiva sulla varietà. La struttura viene prima definita separatamente su ciascun grafico. Se tutte le mappe di transizione sono compatibili con questa struttura, la struttura si trasferisce alla varietà.
Questo è il modo standard in cui vengono definite le varietà differenziabili. Se le funzioni di transizione di un atlante per una varietà topologica conservano la struttura differenziale naturale di (cioè, se sono diffeomorfismi), la struttura differenziale si trasferisce alla varietà e la trasforma in una varietà differenziabile. Le varietà complesse sono introdotte in modo analogo richiedendo che le funzioni di transizione di un atlante siano funzioni olomorfe. Per le varietà simplettiche, le funzioni di transizione devono essere simplettomorfismi.
La struttura sulla varietà dipende dall'atlante, ma a volte si può dire che atlanti diversi danno origine alla stessa struttura. Tali atlanti sono chiamati compatibili .
Queste nozioni sono rese precise in generale attraverso l'uso di pseudogruppi.
Vedi
anche: Varietà topologica § Varietà con bordo
Una varietà con bordo è una varietà con un bordo. Ad esempio, un foglio di carta è una 2-varietà con un contorno 1-dimensionale. Il limite di una -varietà con limite è una -varietà. Un disco (cerchio più interno) è una 2-varietà con contorno. Il suo contorno è un cerchio, una 1-varietà. Un quadrato con interno è anche una 2-varietà con contorno. Una palla (sfera più interno) è una 3-varietà con contorno. Il suo confine è una sfera, una 2-varietà.
In linguaggio tecnico, una varietà con contorno è uno spazio contenente sia punti interni che punti contorno. Ogni punto interno ha un vicinato omeomorfo alla palla aperta. Ogni punto di confine ha un vicinato omeomorfo alla "mezza" -palla. Qualsiasi omeomorfismo tra mezze palle deve inviare punti con a punti con . Questa invarianza permette di "definire" i punti di confine; Vedi paragrafo successivo.
Confine e interno
Sia una varietà con contorno. L'interno di , indicato con , è l'insieme dei punti in cui hanno quartieri omeomorfi ad un sottoinsieme aperto di . Il confine di , indicato con , è il complemento di in . Le I punti di confine possono essere caratterizzati come quei punti che atterrano sull'iperpiano di confine di sotto un grafico di coordinate.
Se è una varietà con bordo di dimensione , allora è una varietà (senza contorno) di dimensione ed è una varietà (senza contorno) di dimensione .
Costruzione
Una singola varietà può essere costruita in modi diversi, ognuno dei quali sottolinea un aspetto diverso della varietà, portando così a un punto di vista leggermente diverso.
Forse il modo più semplice per costruire una varietà è quello usato nell'esempio sopra del cerchio. In primo luogo, viene identificato un sottoinsieme di e quindi viene costruito un atlante che copre questo sottoinsieme. Il concetto di varietà è cresciuto storicamente da costruzioni come questa. Ecco un altro esempio, applicando questo metodo alla costruzione di una sfera:
Sfera con grafici
Una sfera può essere trattato quasi allo stesso modo del cerchio. In matematica una sfera è solo la superficie (non l'interno solido), che può essere definita come un sottoinsieme di :
La sfera è bidimensionale, quindi ogni grafico mapperà parte della sfera a un sottoinsieme aperto di . Consideriamo l'emisfero settentrionale, che è la parte con la coordinata z positiva (colorata in rosso nell'immagine a destra). La funzione χ definita da
mappa l'emisfero settentrionale al disco unitario aperto proiettandolo sul piano ( x , y ). Un grafico simile esiste per l'emisfero australe. Insieme a due carte che proiettano sul piano ( x , z ) e due carte che proiettano sul piano ( y , z ), si ottiene un atlante di sei carte che copre l'intera sfera.
Questo può essere facilmente generalizzato alle sfere dimensionali superiori.
Patchwork
Ulteriori informazioni: Teoria della chirurgia
Una varietà può essere costruita incollando insieme pezzi in modo coerente, trasformandoli in grafici sovrapposti. Questa costruzione è possibile per qualsiasi varietà e quindi è spesso usata come caratterizzazione, specialmente per varietà differenziabili e riemanniane. Si concentra su un atlante, poiché le toppe forniscono naturalmente grafici, e poiché non c'è spazio esterno coinvolto, porta a una visione intrinseca della varietà.
La varietà è costruita specificando un atlante, che è a sua volta definito da mappe di transizione. Un punto della varietà è quindi una classe di equivalenza di punti che sono mappati tra loro da mappe di transizione. I grafici mappano le classi di equivalenza ai punti di una singola patch. Di solito ci sono forti esigenze sulla coerenza delle mappe di transizione. Per le varietà topologiche sono richiesti omeomorfismi; Se sono anche diffeomorfismi, la varietà risultante è una varietà differenziabile.
Questo può essere illustrato con la mappa di transizione t = 1 ⁄ s dalla seconda metà dell'esempio del cerchio. Inizia con due copie della linea. Utilizzare le coordinate s per la prima copia e t per la seconda copia. Ora, incolla entrambe le copie insieme identificando il punto t sulla seconda copia con il punto s = 1 ⁄ t sulla prima copia (i punti t = 0 e s = 0 non sono identificati con alcun punto rispettivamente sulla prima e sulla seconda copia). Questo dà un cerchio.
Visione intrinseca ed estrinseca
La prima costruzione e questa costruzione sono molto simili, ma rappresentano punti di vista piuttosto diversi. Nella prima costruzione, la varietà è vista come incorporata in uno spazio euclideo. Questa è la visione estrinseca . Quando una varietà è vista in questo modo, è facile usare l'intuizione da Spazi euclidei per definire una struttura aggiuntiva. Ad esempio, in uno spazio euclideo, è sempre chiaro se un vettore in un certo punto è tangenziale o normale a una superficie passante per quel punto.
La costruzione patchwork non utilizza alcuna inclusione, ma vede semplicemente la varietà come uno spazio topologico a sé stante. Questo punto di vista astratto è chiamato punto di vista intrinseco . Può rendere più difficile immaginare cosa potrebbe essere un vettore tangente, e non esiste una nozione intrinseca di fibrato normale, ma invece esiste un fibrato normale stabile intrinseco.
n -Sfera come patchwork
La n -sfera S n è una generalizzazione dell'idea di un cerchio (1-sfera) e di una sfera (2-sfera) a dimensioni superiori. Una n -sfera S n può essere costruita incollando insieme due copie di . La mappa di transizione tra di loro è l'inversione in un Questa
funzione è il suo inverso e quindi può essere utilizzata in entrambe le direzioni. Poiché la mappa di transizione è una funzione liscia, questo atlante definisce una varietà liscia. Nel caso n = 1, l'esempio si semplifica all'esempio del cerchio fornito in precedenza.
Articoli
principali: Orbifold e Azione di gruppo (matematica)
È possibile definire diversi punti di una varietà per essere lo stesso punto. Questo può essere visualizzato come l'incollaggio di questi punti insieme in un unico punto, formando uno spazio quoziente. Non c'è, tuttavia, motivo di aspettarsi che tali spazi quozienti siano varietà. Tra i possibili spazi quozienti che non sono necessariamente varietà, gli orbifold e i complessi CW sono considerati relativamente ben comportati. Un esempio di spazio quoziente di una varietà che è anche una varietà è lo spazio proiettivo reale, identificato come uno spazio quoziente del corrispondente sfera.
Un metodo per identificare i punti (incollandoli insieme) è attraverso un'azione destra (o sinistra) di un gruppo, che agisce sulla varietà. Due punti vengono identificati se uno viene spostato sull'altro da un elemento del gruppo. Se M è la varietà e G è il gruppo, lo spazio quoziente risultante è indicato con M / G (o G \ M ).
Le varietà che possono essere costruite identificando i punti includono tori e spazi proiettivi reali (a partire da un piano e una sfera, rispettivamente).
Articolo
principale: Spazio quoziente (topologia)
Due varietà con bordi possono essere incollate insieme lungo un contorno. Se questo viene fatto nel modo giusto, il risultato è anche una varietà. Allo stesso modo, due limiti di una singola varietà possono essere incollati insieme.
Formalmente, l'incollaggio è definito da una biiezione tra i due confini [ dubbio - discutere ] . Due punti vengono identificati quando vengono mappati l'uno sull'altro. Per una varietà topologica, questa biiezione dovrebbe essere un omeomorfismo, altrimenti il risultato non sarà una varietà topologica. Allo stesso modo, per una varietà differenziabile, deve essere un diffeomorfismo. Per altre varietà, altre strutture dovrebbero essere preservate.
Un cilindro finito può essere costruito come una varietà iniziando con una striscia [0,1] × [0,1] e incollando una coppia di spigoli opposti sul contorno con un opportuno diffeomorfismo. Un piano proiettivo può essere ottenuto incollando una sfera con un foro su una striscia di Möbius lungo i rispettivi bordi circolari.
Prodotti cartesiani
Anche il prodotto cartesiano delle varietà è una varietà.
La dimensione della varietà del prodotto è la somma delle dimensioni dei suoi fattori. La sua topologia è la topologia del prodotto e una cartesiana Prodotto di grafici è un grafico per la varietà del prodotto. Pertanto, un atlante per il collettore del prodotto può essere costruito utilizzando gli atlanti per i suoi fattori. Se questi atlanti definiscono una struttura differenziale sui fattori, l'atlante corrispondente definisce una struttura differenziale sulla varietà del prodotto. Lo stesso vale per qualsiasi altra struttura definita in base ai fattori. Se uno dei fattori ha un limite, anche la varietà del prodotto ha un contorno. I prodotti cartesiani possono essere utilizzati per costruire tori e cilindri finiti, ad esempio, come S 1 × S 1 e S 1 × [0,1], rispettivamente.
Storia
Per ulteriori informazioni: Storia delle varietà e delle varietà
Lo studio delle varietà combina molte importanti aree della matematica: generalizza concetti come curve e superfici, nonché idee dall'algebra lineare e dalla topologia.
Prima
del concetto moderno di varietà ci sono stati diversi risultati importanti.
La geometria non euclidea considera gli spazi in cui il postulato parallelo di Euclide fallisce. Saccheri studiò per la prima volta tali geometrie nel 1733, ma cercò solo di confutarle. Gauss, Bolyai e Lobachevsky li scoprirono indipendentemente 100 anni dopo. La loro ricerca ha portato alla luce due tipi di spazi le cui strutture geometriche differiscono da quelle dello spazio euclideo classico; Questi hanno dato origine alla geometria iperbolica e alla geometria ellittica. Nella moderna teoria delle varietà, queste nozioni corrispondono alle varietà riemanniane con curvatura negativa e positiva costante, rispettivamente.
Carl Friedrich Gauss potrebbe essere stato il primo a considerare gli spazi astratti come oggetti matematici a sé stanti. Il suo theorema egregium fornisce un metodo per calcolare la curvatura di una superficie senza considerare lo spazio ambientale in cui il bugie di superficie. Tale superficie sarebbe, nella terminologia moderna, chiamata varietà; E in termini moderni, il teorema ha dimostrato che la curvatura della superficie è una proprietà intrinseca. La teoria delle varietà è arrivata a concentrarsi esclusivamente su queste proprietà intrinseche (o invarianti), ignorando in gran parte le proprietà estrinseche dello spazio ambientale.
Un altro esempio, più topologico, di una proprietà intrinseca di una varietà è la sua caratteristica di Eulero. Leonhard Euler dimostrò che per un politopo convesso nello spazio euclideo tridimensionale con V vertici (o angoli), E spigoli e F facce, La stessa formula varrà se proiettiamo i vertici e gli spigoli del politopo su una sfera, creando una mappa topologica con V vertici, E spigoli e F facce, e infatti, rimarrà vera per qualsiasi mappa sferica, anche se non deriva da alcun politopo convesso. [3] Quindi 2 è un invariante topologico della sfera, chiamato la sua caratteristica di Eulero . D'altra parte, un toroide può essere tagliato dai suoi cerchi "paralleli" e "meridiani", creando una mappa con V = 1 vertice, E = 2 spigoli e F = 1 faccia. Quindi la caratteristica di Eulero del toroide è 1 − 2 + 1 = 0. La caratteristica di Eulero di altre superfici è un utile invariante topologico, che può essere esteso a dimensioni superiori utilizzando i numeri di Betti. A metà del XIX secolo, il teorema di Gauss-Bonnet collegò la caratteristica di Eulero alla curvatura gaussiana.
Sintesi
Le indagini di Niels Henrik Abel e Carl Gustav Jacobi sull'inversione degli integrali ellittici nella prima metà del XIX secolo li portarono a considerare tipi speciali di varietà complesse, ora note come jacobiane. Bernhard Riemann contribuì ulteriormente alla loro teoria, chiarire il significato geometrico del processo di continuazione analitica di funzioni di variabili complesse.
Un'altra importante fonte di varietà nella matematica del XIX secolo fu la meccanica analitica, sviluppata da Siméon Poisson, Jacobi e William Rowan Hamilton. Si pensa che gli stati possibili di un sistema meccanico siano punti di uno spazio astratto, lo spazio delle fasi nei formalismi lagrangiani e hamiltoniani della meccanica classica. Questo spazio è, infatti, una varietà ad alta dimensionalità, la cui dimensione corrisponde ai gradi di libertà del sistema e dove i punti sono specificati dalle loro coordinate generalizzate. Per un movimento non vincolato di particelle libere la varietà è equivalente allo spazio euclideo, ma varie leggi di conservazione la vincolano a formazioni più complicate, ad esempio Liouville tori. La teoria di un corpo solido rotante, sviluppata nel XVIII secolo da Leonhard Euler e Joseph-Louis Lagrange, fornisce Un altro esempio in cui la varietà non è banale. Gli aspetti geometrici e topologici della meccanica classica sono stati sottolineati da Henri Poincaré, uno dei fondatori della topologia.
Riemann fu il primo a fare un ampio lavoro generalizzando l'idea di una superficie a dimensioni superiori. Il nome collettore deriva dal termine tedesco originale di Riemann, Mannigfaltigkeit , che William Kingdon Clifford ha tradotto come "varietà". Nella sua conferenza inaugurale a Gottinga, Riemann descrisse l'insieme di tutti i valori possibili di una variabile con certi vincoli come una Mannigfaltigkeit , perché la variabile può avere molti valori. Egli distingue tra stetige Mannigfaltigkeit e diskrete Mannigfaltigkeit (varietà continua e varietà discontinua ), a seconda che il valore cambi continuamente o meno. Come esempi continui, Riemann si riferisce a non solo i colori e la posizione degli oggetti nello spazio, ma anche le possibili forme di una figura spaziale. Usando l'induzione, Riemann costruisce una n-fach ausgedehnte Mannigfaltigkeit ( n volte la varietà estesa o la varietà n-dimensionale ) come una pila continua di (n−1) varietà dimensionali. La nozione intuitiva di Riemann di una Mannigfaltigkeit si è evoluta in ciò che oggi è formalizzato come un molteplice. Le varietà riemanniane e le superfici di Riemann prendono il nome da Riemann.
La definizione di Poincaré
Nel suo articolo molto influente, Analysis Situs, [4] Henri Poincaré diede una definizione di varietà differenziabile (variété ) che servì come precursore del moderno concetto di varietà. [5]
Nella prima sezione di Analysis Situs, Poincaré definisce una varietà come l'insieme dei livelli di una funzione continuamente differenziabile tra Euclideo spazi che soddisfano l'ipotesi di non degenerazione del teorema della funzione implicita. Nella terza sezione, inizia osservando che il grafico