Quanti numeri ci sono in pi greco
Numero Pi greco, circa 3,14
Questo articolo riguarda la costante matematica. Per la lettera greca, vedi Pi (lettera). Per altri usi, vedi Pi greco (disambigua) e PI.
Il numero π (in greco pi greco) è una costante matematica che è il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro, approssimativamente uguale a 3,14159. Appare in molte formule in matematica e fisica, e alcune di queste formule sono comunemente usate per definire π, per evitare di fare affidamento sulla definizione della lunghezza di una curva.
Il numero π è un numero irrazionale, il che significa che non può essere espresso esattamente come un rapporto di due numeri interi, anche se le frazioni sono comunemente usate per approssimarlo. Di conseguenza, la sua rappresentazione decimale non termina mai, né entra in uno schema che si ripete in modo permanente. È un numero trascendentale, il che significa che non può essere una soluzione di un numero algebrico equazione che coinvolge solo somme finite, prodotti, potenze e numeri interi. La trascendenza del π implica che è impossibile risolvere l'antica sfida della quadratura del cerchio con compasso e righello. Le cifre decimali di π sembrano essere distribuite in modo casuale, [a] ma non è stata trovata alcuna prova di questa congettura.
Per migliaia di anni, i matematici hanno cercato di estendere la loro comprensione della π, a volte calcolando il suo valore con un alto grado di precisione. Le civiltà antiche, tra cui gli egizi e i babilonesi, richiedevano approssimazioni abbastanza accurate di π per i calcoli pratici. Intorno al 250 a.C., il matematico greco Archimede creò un algoritmo per approssimare π con precisione arbitraria. Nel V secolo d.C., i matematici cinesi approssimavano da π a sette cifre, mentre i matematici indiani facevano un'approssimazione a cinque cifre, entrambe usando tecniche geometriche. Prima La formula computazionale per π, basata su serie infinite, fu scoperta un millennio dopo. [1] [2] Il primo uso conosciuto della lettera greca π per rappresentare il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro fu del matematico gallese William Jones nel 1706. [3] L'invenzione del calcolo portò presto al calcolo di centinaia di cifre di π, sufficienti per tutti i calcoli scientifici pratici. Tuttavia, nel XX e XXI secolo, i matematici e gli informatici hanno perseguito nuovi approcci che, combinati con l'aumento della potenza di calcolo, hanno esteso la rappresentazione decimale di π a molti trilioni di cifre. [4] [5] Questi calcoli sono motivati dallo sviluppo di algoritmi efficienti per calcolare le serie numeriche, nonché dalla ricerca umana di battere i record. [7] I calcoli estesi coinvolti sono stati utilizzati anche per testare i supercomputer e per sottoporre a stress test l'hardware dei computer di consumo.
Poiché la sua definizione si riferisce al cerchio, π si trova in molte formule di trigonometria e geometria, in particolare quelle riguardanti cerchi, ellissi e sfere. Si trova anche in formule di altri argomenti scientifici, come la cosmologia, i frattali, la termodinamica, la meccanica e l'elettromagnetismo. Appare anche in aree che hanno poco a che fare con la geometria, come la teoria dei numeri e la statistica, e nell'analisi matematica moderna può essere definita senza alcun riferimento alla geometria. L'ubiquità della π la rende una delle costanti matematiche più conosciute all'interno e all'esterno della scienza. Sono stati pubblicati diversi libri dedicati alla π e i calcoli da record delle cifre dei π spesso si traducono in titoli di giornale.
Fondamenti
Nome Il
simbolo usato dai matematici per rappresentare il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro è la lettera greca minuscola π, a volte scritta come pi. [8] In inglese, π si pronuncia come "torta" ( PY ). [9] Nell'uso matematico, la lettera minuscola π si distingue dalla sua controparte maiuscola e ingrandita Π, che denota un prodotto di una sequenza, analogamente a come Σ denota la sommatoria.
La scelta del simbolo π è discussa nella sezione Adozione del simbolo π .
Definizione
π è comunemente definito come il rapporto tra la circonferenza di un cerchio C e il suo diametro d :
Il rapporto è costante, indipendentemente dalle dimensioni del cerchio. Ad esempio, se un cerchio ha il doppio del diametro di un altro cerchio, avrà anche il doppio della circonferenza, preservando il rapporto . Questa definizione di π fa implicitamente uso di piano (euclideo) geometria; Sebbene la nozione di cerchio possa essere estesa a qualsiasi geometria curva (non euclidea), questi nuovi cerchi non soddisferanno più la formula .
Qui, la circonferenza di un cerchio è la lunghezza dell'arco attorno al perimetro del cerchio, una quantità che può essere formalmente definita indipendentemente dalla geometria usando i limiti, un concetto in calcolo. [11] Ad esempio, si può calcolare direttamente la lunghezza dell'arco della metà superiore del cerchio unitario, data in coordinate cartesiane dall'equazione , come integrale:
Un integrale come questo è stato proposto come definizione di π da Karl Weierstrass, che lo definì direttamente come integrale nel 1841. [b]
L'integrazione non è più comunemente usata in una prima definizione analitica perché, come spiega Remmert 2012, il calcolo differenziale precede tipicamente il calcolo integrale nel curriculum universitario, quindi è auspicabile avere una definizione di π che non si basa su quest'ultimo. Una di queste definizioni, dovuta a Richard Baltzer [14] e resa popolare da Edmund Landau, [15] è la seguente: π è il doppio del più piccolo numero positivo in cui la funzione coseno è uguale a 0. [16] π è anche il più piccolo numero positivo in cui la funzione seno è uguale a zero e la differenza tra zeri consecutivi della funzione seno. Il coseno e il seno possono essere definiti indipendentemente dalla geometria come una serie di potenze, [17] o come la soluzione di un'equazione differenziale. [16]
In uno spirito simile, π può essere definito utilizzando le proprietà dell'esponenziale complesso, exp z , di una variabile complessa z . Come il coseno, l'esponenziale complesso può essere definito in diversi modi. L'insieme dei numeri complessi in cui exp z è uguale a uno è quindi una progressione aritmetica (immaginaria) del forma: E c'è un numero reale positivo unico π con questa proprietà. [18]
Una variante della stessa idea, che si avvale di sofisticati concetti matematici di topologia e algebra, è il seguente teorema: [19] esiste un unico (fino all'automorfismo) isomorfismo continuo dal gruppo R / Z dei numeri reali sotto l'addizione modulo interi (il gruppo dei cerchi), sul gruppo moltiplicativo dei numeri complessi di valore assoluto uno. Il numero π è quindi definito come la metà della grandezza della derivata di questo omomorfismo. [20]
Irrazionalità e normalità
π è un numero irrazionale, il che significa che non può essere scritto come il rapporto di due numeri interi. Frazioni come 22/7 e 355/113 sono comunemente usate per approssimare π, ma nessuna frazione comune (rapporto di numeri interi) può essere il suo valore esatto. Perché π è Irrazionale, ha un numero infinito di cifre nella sua rappresentazione decimale e non si stabilizza in uno schema di cifre che si ripete all'infinito. Ci sono diverse prove che π è irrazionale; Generalmente richiedono il calcolo e si basano sulla tecnica della reductio ad absurdum. Il grado in cui π può essere approssimato dai numeri razionali (chiamato misura di irrazionalità) non è noto con precisione; le stime hanno stabilito che la misura dell'irrazionalità è maggiore o almeno uguale alla misura di e ma più piccola della misura dei numeri di Liouville. [22]
Le cifre di π non hanno uno schema apparente e hanno superato i test di casualità statistica, inclusi i test di normalità; un numero di lunghezza infinita è chiamato normale quando tutte le possibili sequenze di cifre (di una data lunghezza) appaiono ugualmente spesso. La congettura che π sia normale non è stata dimostrata o confutata.
Dall'avvento di computer, è stato disponibile un gran numero di cifre di π su cui eseguire analisi statistiche. Yasumasa Kanada ha eseguito analisi statistiche dettagliate sulle cifre decimali di π, e le ha trovate coerenti con la normalità; Ad esempio, le frequenze delle dieci cifre da 0 a 9 sono state sottoposte a test di significatività statistica e non è stata trovata alcuna prova di un modello. Ogni sequenza casuale di cifre contiene sottosequenze arbitrariamente lunghe che appaiono non casuali, secondo il teorema della scimmia infinita. Pertanto, poiché la sequenza di cifre di π supera i test statistici per la casualità, contiene alcune sequenze di cifre che possono sembrare non casuali, come una sequenza di sei 9 consecutivi che inizia alla 762a cifra decimale della rappresentazione decimale di π. Questo è anche chiamato il "punto di Feynman" nel folklore matematico, in onore di Richard Feynman, anche se non è nota alcuna connessione con Feynman.
Trascendenza
Vedi anche: Teorema di Lindemann-Weierstrass
Oltre ad essere irrazionale, π è anche un numero trascendentale, il che significa che non è la soluzione di alcuna equazione polinomiale non costante con coefficienti razionali, come . [c] Ciò deriva dal cosiddetto teorema di Lindemann-Weierstrass, che stabilisce anche la trascendenza della costante e .
La trascendenza di π ha due importanti conseguenze: in primo luogo, π non può essere espressa utilizzando alcuna combinazione finita di numeri razionali e radici quadrate o radici n -esime (come o ). In secondo luogo, poiché nessun numero trascendentale può essere costruito con compasso e riga, non è possibile "quadrare il cerchio". In altre parole, è impossibile costruire, usando solo il compasso e il righello, un quadrato la cui area sia esattamente uguale all'area di un dato cerchio. [27] La quadratura del cerchio era una delle importanti problemi di geometria dell'antichità classica. [28] I matematici dilettanti dei tempi moderni hanno talvolta tentato di far quadrare il cerchio e rivendicare il successo, nonostante il fatto che sia matematicamente impossibile. [29] [30]
Un problema irrisolto finora è la questione se i numeri π ed e siano algebricamente indipendenti ("relativamente trascendentali"). Questo sarebbe risolto dalla congettura di Schanuel [31] [32] – una generalizzazione attualmente non dimostrata del teorema di Lindemann-Weierstrass. [33]
Frazioni continue
Essendo un numero irrazionale, π non può essere rappresentato come una frazione comune. Ma ogni numero, incluso π, può essere rappresentato da una serie infinita di frazioni annidate, chiamata frazione continua semplice:
troncando il continuo frazione in qualsiasi punto produce un'approssimazione razionale per π; I primi quattro di questi sono 3, 22/7, 333/106 e 355/113. Questi numeri sono tra le approssimazioni storiche più conosciute e più utilizzate della costante. Ogni approssimazione generata in questo modo è una migliore approssimazione razionale; Cioè, ognuno è più vicino a π di qualsiasi altra frazione con lo stesso denominatore o un denominatore più piccolo. [34] Poiché π è trascendentale, non è per definizione algebrica e quindi non può essere un irrazionale quadratico. Pertanto, π non possono avere una frazione continua periodica. Sebbene la frazione continua semplice per π (con numeratori tutti 1, mostrati sopra) non mostri alcun altro modello ovvio, [36] diverse frazioni continue non semplici lo fanno, come ad esempio: [37]
La metà di queste è dovuta al matematico della metà del XVII secolo William Brouncker, vedi § Formula di Brouncker.
Valore approssimativo e cifre Alcune
approssimazioni di pi greco includono:
- Numeri interi : 3
- Frazioni: le frazioni approssimate includono (in ordine di precisione crescente) 22/7, 333/106, 355/113, 52163/16604, 103993/33102, 104348/33215 e 245850922/78256779. [34] (L'elenco è costituito da termini selezionati da OEIS: A063674 e OEIS: A063673.)
- Cifre: le prime 50 cifre decimali sono 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510... (vedi OEIS: A000796)
Cifre in altri sistemi numerici
Numeri complessi e identità
Qualsiasi numero complesso, ad esempio z, può essere espresso utilizzando una coppia di numeri reali. Nel sistema di coordinate polari, un numero (raggio o r) è usato per rappresentare la distanza di z dall'origine del piano complesso, e l'altro (angolo o φ) la rotazione in senso antiorario dalla retta reale positiva: dove i è l'unità immaginaria che soddisfa