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Quanti lati ha un hendecagono?

Forma dell'hendecagono

con undici lati

In geometria, un endecagono (anche undecagono [1] [2] o endecagono [3] ) o 11-gon è un poligono a undici lati. (Il nome hendecagon , dal greco hendeka "undici" e –gon "angolo", è spesso preferito all'ibrido undecagon , la cui prima parte è formata dal latino undecim "undici". [4] )

Un endecagono

regolare è rappresentato dal simbolo di Schläfli {11}.

Un endecagono regolare ha angoli interni di 147,27 gradi (= 147 gradi). [5] L'area di un endecagono regolare con lunghezza laterale a è data da [2]

Poiché 11 non è un primo di Fermat, l'endecagono regolare non è costruibile con bussola e riga. [6] Poiché 11 non è un primo di Pierpont, la costruzione di un endecagono regolare è ancora impossibile anche con l'uso di una trisettrice angolare.

Si possono costruire approssimazioni vicine all'endecagono regolare. Ad esempio, gli antichi matematici greci approssimavano la lunghezza del lato di un endecagono inscritto in un cerchio unitario come lungo 14/25 unità. [7]

L'endecagono può essere costruito esattamente tramite la costruzione neusis [8] e anche tramite origami a due pieghe. [9]

Costruzione

approssimativa Hendecagon inscritto in un cerchio, una continuazione della costruzione di base secondo T. Drummond come animazione.
Corrisponde all'incisione su rame di Anton Ernst Burkhard di Birckenstein.

Endecagono, incisione su rame del 1698 di Anton Ernst Burkhard di Birckenstein

La seguente descrizione della costruzione è data da T. Drummond del 1800: [10]

Disegna il raggio A B , taglialo in due in C - con un'apertura del compasso pari alla metà del raggio, su A e C come centri descrivono gli archi C D I e A D - con la distanza I D su Descrivo l'arco D O e traccio la linea C O , che sarà l'estensione di un lato di un endecagono sufficientemente esatta per la pratica.

Su un cerchio unitario:

  • Lunghezza del lato dell'endecagono costruito
  • Lunghezza teorica del lato dell'endecagono
  • Errore assoluto - se AB è 10 m, questo errore è di circa 2,3 mm.

Simmetria

L'endecagono regolare ha simmetria Dih 11, ordine 22. Poiché 11 è un numero primo, esiste un sottogruppo con simmetria diedrica: Dih 1 , e 2 simmetrie di gruppo ciclico: Z 11 e Z 1 .

Queste 4 simmetrie possono essere viste in 4 simmetrie distinte sull'endecagono. John Conway li etichetta con una lettera e un ordine di gruppo. [11] La simmetria completa della forma regolare è r22 e nessuna simmetria è etichettata a1 . Le simmetrie diedriche sono divise a seconda che passino attraverso vertici ( d per diagonale) o spigoli ( p per perpendicolari), e i quando le linee di riflessione attraversano sia gli spigoli che i vertici. Le simmetrie cicliche nella colonna centrale sono etichettate come g per i loro ordini di rotazione centrale.

Ogni simmetria di sottogruppo consente uno o più gradi di libertà per le forme irregolari. Solo il sottogruppo g11 non ha gradi di libertà ma può essere visto come bordi diretti.

Utilizzare in La

moneta del dollaro canadese, il loonie, è simile, ma non esattamente, a un normale prisma endacagonale [12], così come la moneta indiana da 2 rupie [13] e molte altre monete meno utilizzate di altre nazioni. [14] La sezione trasversale di un loonie è in realtà un endecagono di Reuleaux. Il dollaro statunitense Susan B. Anthony ha un contorno endecagonale lungo l'interno dei suoi bordi.

L'endecagono condivide lo stesso insieme di 11 vertici con quattro endecatogrammi regolari:

Vedi anche

  • 10-simplesso - può essere visto come un grafo completo in una proiezione ortogonale endecagonale regolare
Riferimenti
  1. ^ Haldeman, Cyrus B. (1922), "Costruzione dell'undecagono regolare mediante una curva sestatica", Discussioni, American Mathematical Monthly , 29 (10), doi:10.2307/2299029, JSTOR 2299029 .
  2. ^ a b Loomis, Elias (1859), Elementi di trigonometria piana e sferica: con le loro applicazioni alla misurazione, al rilevamento e alla navigazione , Harper, p. 65 .
  3. ^ Brewer, Ebenezer Cobham (1877), Errori di parola e di ortografia , Londra: W. Tegg and co., p. iv .
  4. ^ Hendecagon - da Wolfram MathWorld
  5. ^ McClain, Kay (1998), Matematica di Glencoe: applicazioni e connessioni , Glencoe/McGraw-Hill, p. 357, ISBN .
  6. ^ Come Gauss dimostrò, un poligono con un numero primo p di lati può essere costruito se e solo se p − 1 è una potenza di due, il che non è vero per 11. Vedi Kline, Morris (1990), Pensiero matematico da Ancient to Modern Times , vol. 2, Oxford University Press, pp. 753-754, ISBN .
  7. ^ Heath, Sir Thomas Little (1921), Una storia della matematica greca, Vol. II: Da Aristarco a Diofanto , The Clarendon Press, p. 329 .
  8. ^ Benjamin, Elliot; Snyder, C. Atti matematici della Cambridge Philosophical Society156.3 (maggio 2014): 409-424.; https://dx.doi.org/10.1017/S0305004113000753
  9. ^ Lucero, J. C. (2018). "Costruzione di un endecagono regolare mediante origami a due pieghe". Crux Mathematicorum . 44 : 207–213. Archiviato dall'originale il 20 giugno 2018. URL consultato il 20 giugno 2018.
  10. ^ T. Drummond, (1800) The Young Ladies and Gentlemen's AUXILIARY, in Taking Heights and Distance ..., Descrizione della costruzione pp. 15-16Fig. 40: scorri da pagina 69 ... a pagina 76 Parte I. Seconda edizione, consultato il 26 marzo 2016
  11. ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capitolo 20, Simboli di Schaefli generalizzati, Tipi di simmetria di un poligono pp. 275-278)
  12. ^ Mossinghoff, Michael J. (2006), "A $1 problem" (PDF), American Mathematical Monthly , 113 (5): 385–402, doi:10.2307/27641947, JSTOR 27641947
  13. ^ Cuhaj, George S.; Michael, Thomas (2012), Catalogo standard 2013 delle monete del mondo dal 2001 ad oggi , Krause Publications, p. 402, ISBN .
  14. ^ Cuhaj, George S.; Michael, Thomas (2011), Monete del mondo insolito (6a ed.), Krause Publications, pp. 23, 222, 233, 526, ISBN .

Opere citate

  • Camera dei Rappresentanti degli Stati Uniti (1978). Proposta di una moneta da un dollaro più piccola . Washington, DC: Ufficio stampa del governo.

Collegamenti esterni