Formula dellinteresse composto

Somma composta pagata per l'uso di denaro

L'interesse composto è l'interesse accumulato da una somma principale e dall'interesse accumulato in precedenza. È il risultato del reinvestimento o della conservazione di interessi che altrimenti verrebbero pagati, o dell'accumulo di debiti da parte di un mutuatario.

L'interesse composto è contrapposto all'interesse semplice, in cui l'interesse precedentemente accumulato non viene aggiunto all'importo nominale dell'esercizio corrente. L'interesse composto dipende dal tasso di interesse semplice applicato e dalla frequenza con cui l'interesse è composto.

Frequenza di capitalizzazione

La frequenza di capitalizzazione è il numero di volte per una data unità di tempo in cui l'interesse accumulato viene capitalizzato, su base regolare. La frequenza potrebbe essere annuale, semestrale, trimestrale, mensile, settimanale, giornaliera, continuamente, o per niente fino alla maturità.

Ad esempio, la capitalizzazione mensile con l'interesse espresso come tasso annuo significa che la frequenza di capitalizzazione è 12, con periodi di tempo misurati in mesi.

Per

aiutare i consumatori a confrontare i prodotti finanziari al dettaglio in modo più equo e semplice, molti paesi richiedono agli istituti finanziari di divulgare il tasso di interesse composto annuo sui depositi o sulle anticipazioni su base comparabile. Il tasso di interesse su base annua equivalente può essere indicato in vari mercati come tasso effettivo effettivo effettivo globale (EAPR), tasso annuo equivalente (AER), tasso di interesse effettivo , tasso annuo effettivo , rendimento annuo annuo effettivo e altri termini. Il tasso annuo effettivo è l'interesse totale accumulato che sarebbe pagabile fino alla fine di un anno, diviso per l'importo principale. Queste tariffe sono solitamente il tasso di interesse composto annualizzato insieme a oneri diversi dagli interessi, quali imposte e altre commissioni.

Esempi:

• Gli interessi sulle obbligazioni societarie e sui titoli di Stato sono solitamente pagabili due volte all'anno. L'importo degli interessi pagati ogni sei mesi è il tasso di interesse indicato diviso per due e moltiplicato per il capitale. Il tasso composto annuo è superiore al tasso divulgato.
• I mutui ipotecari canadesi sono generalmente composti semestralmente con pagamenti mensili o più frequenti. ^[1]
• I mutui statunitensi utilizzano un prestito ammortizzante, non un interesse composto. Con questi prestiti, viene utilizzato un piano di ammortamento per determinare come applicare i pagamenti al capitale e agli interessi. Gli interessi generati su questi prestiti non vengono aggiunti al capitale, ma vengono pagati mensilmente man mano che i pagamenti vengono applicati.
• Lo è A volte matematicamente più semplice, ad esempio, nella valutazione dei derivati, utilizzare la capitalizzazione continua. La continua capitalizzazione nel pricing di questi strumenti è una conseguenza naturale dell'Itô calcolo, in cui i derivati finanziari sono valutati con frequenza sempre crescente, fino a quando non ci si avvicina al limite e il derivato viene valutato in tempo continuo.

L'interesse

composto, quando addebitato dai creditori, era un tempo considerato come il peggior tipo di usura ed era severamente condannato dal diritto romano e dalle leggi comuni di molti altri paesi. ^[2]

Il mercante fiorentino Francesco Balducci Pegolotti fornì una tabella dell'interesse composto nel suo libro Pratica della mercatura del 1340 circa. Dà l'interesse su 100 lire, per tassi dall'1% all'8%, fino a 20 anni. ^[3] La Summa de arithmetica di Luca Pacioli (1494) dà la Regola del 72, affermando che per trovare il numero di anni per un investimento a interesse composto da raddoppiare, si dovrebbe dividere il tasso di interesse per 72.

Il libro di Richard Witt Arithmeticall Questions , pubblicato nel 1613, è stato una pietra miliare nella storia dell'interesse composto. Era interamente dedicato all'argomento (precedentemente chiamato anatocismo), mentre gli scrittori precedenti avevano solitamente trattato brevemente l'interesse composto in un solo capitolo di un libro di testo matematico. Il libro di Witt forniva tabelle basate sul 10% (il tasso di interesse massimo consentito sui prestiti) e altri tassi per scopi diversi, come la valutazione dei contratti di locazione immobiliare. Witt era un matematico londinese e il suo libro è notevole per la sua chiarezza di espressione, profondità di intuizione e accuratezza di calcolo, con 124 esempi funzionanti. ^{[4] [5]}

Jacob Bernoulli scoprì la costante nel 1683 Studiare una domanda sull'interesse composto.

Nel XIX secolo, e forse anche prima, i mercanti persiani usavano un'approssimazione lineare di Taylor leggermente modificata alla formula di pagamento mensile che poteva essere facilmente calcolata nella loro testa. ^[6] Nei tempi moderni, la presunta citazione di Albert Einstein riguardo all'interesse composto suona vera. "Chi lo comprende se lo guadagna; chi non lo paga". ^[7]

Calcolo

Vedi anche: Valore temporale del denaro e Interessi § Calcolo

Capitalizzazione periodica

Il valore totale accumulato, compreso il capitale più l'interesse composto, è dato dalla formula: ^{[8] [9]}

dove:

• A è l'importo finale
• P è la somma principale originaria
• r è il tasso di interesse annuo nominale
• n è La frequenza di capitalizzazione (1: annuale, 12: mensile, 52: settimanale, 365: giornaliero) ^[10]
• t è la durata complessiva dell'applicazione dell'interesse (espressa utilizzando le stesse unità di tempo di r , di solito anni).

L'interesse composto totale generato è l'importo finale meno il capitale iniziale, poiché l'importo finale è uguale al capitale più l'interesse: ^[11]

Funzione di accumulazione

Poiché il capitale P è semplicemente un coefficiente, viene spesso eliminato per semplicità e viene invece utilizzata la funzione di accumulazione risultante. La funzione di accumulo mostra a cosa cresce $ 1 dopo un certo periodo di tempo. La funzione di accumulo per l'interesse composto è:

Capitalizzazione continua

Vedi anche: Rendimento logaritmico

Quando il numero di periodi di capitalizzazione all'anno aumenta senza limiti, continuo si verifica la capitalizzazione, nel qual caso il tasso annuo effettivo si avvicina a un limite superiore di e ^r − 1. La capitalizzazione continua può essere considerata come lasciare che il periodo di composizione diventi infinitamente piccolo, ottenuto prendendo il limite come n va all'infinito. L'importo dopo t periodi di capitalizzazione continua può essere espresso in termini dell'importo iniziale P ₀ come:

Forza dell'interesse

Poiché il numero di periodi di capitalizzazione tende all'infinito nella capitalizzazione continua, il tasso di interesse composto continuo è indicato come forza dell'interesse . Per ogni funzione di accumulazione differenziabile in modo continuo a(t), la forza di interesse, o più in generale il rendimento logaritmico o composto in modo continuo, è una funzione del tempo come segue:

Questa è la derivata logaritmica della funzione di accumulazione.

(Dal momento che , questo può essere visto come un caso particolare di un integrale di prodotto.)

Quando la formula di cui sopra è scritta in formato equazione differenziale, allora la forza di interesse è semplicemente il coefficiente di quantità di variazione:

Per l'interesse composto con un tasso di interesse annuo costante r , la forza di interesse è una costante, e la funzione di accumulazione dell'interesse composto in termini di forza di interesse è una semplice potenza di e : o

La forza dell'interesse è inferiore al tasso di interesse effettivo annuo, ma superiore al tasso di sconto effettivo annuo. È il reciproco del tempo di piegatura elettronica .

Un modo per modellare la forza dell'inflazione è con la formula di Stoodley: dove p , r e s sono stimati.

Vedi

anche: Convenzione sul conteggio dei giorni

Per convertire un tasso di interesse da una base composta a un'altra composta base, in modo che

utilizzare

dove r ₁ è il tasso di interesse con frequenza composta n ₁ , e r ₂ è il tasso di interesse con frequenza composta n ₂ .

Quando l'interesse è composto continuamente, utilizzare

dove è il tasso di interesse su base composta continua, e r è il tasso di interesse dichiarato con una frequenza composta n .

Rate mensili ammortizzate di prestito o mutuo

Vedi anche: Calcolatore del mutuo § Formula di pagamento mensile

Gli interessi su prestiti e mutui ammortizzati, ovvero con una rata mensile regolare fino all'estinzione del prestito, sono spesso composti mensilmente. La formula per i pagamenti si trova dal seguente argomento.

Formula esatta per il pagamento mensile

Una formula esatta per il pagamento mensile payment ( ) è o equivalentemente

dove:

Formula del foglio di calcolo

Nei fogli di calcolo, viene utilizzata la funzione PMT(). La sintassi è:

PMT(interest_rate, number_payments, present_value, future_value, [Tipo])

Formula approssimativa per il pagamento mensile

Una

formula accurata entro pochi punti percentuali può essere trovata notando che per i tassi tipici delle banconote statunitensi ( e termini = 10-30 anni), il tasso delle banconote mensili è piccolo rispetto a 1. in modo che il che produce la semplificazione:

che suggerisce di definire delle variabili

ausiliarie

: Ecco la rata mensile richiesta per un prestito a tasso zero rateizzato. In termini di queste variabili l'approssimazione può essere scritta .

lasciare. L'espansione è valida per meglio dell'1% fornito .

Esempio di pagamento del mutuo

Per un mutuo da $ 120.000 con una durata di 30 anni e un tasso di nota del 4,5%, pagabile mensilmente, troviamo:

che dà

in modo che

l'importo esatto del pagamento è quindi l'approssimazione è una sovrastima di circa un sesto di punto percentuale.

Depositi mensili

Dato un deposito principale e un deposito ricorrente, il rendimento totale di un investimento può essere calcolato tramite l'interesse composto guadagnato per unità di tempo. Se necessario, all'interno della stessa formula è possibile definire anche l'interesse su ulteriori depositi non ricorrenti e ricorrenti (vedi sotto). ^[12]

L'interesse composto per ciascun deposito è: Sommando tutti i depositi ricorrenti nel periodo totale t, (i inizia da 0 se i depositi iniziano con l'investimento del capitale; i inizia da 1 se i depositi iniziano il mese successivo): Riconoscendo la serie geometrica: e applicando la formula in forma chiusa (rapporto comune : ):

Se si verificano due o più tipi di depositi (o ricorrente o non ricorrente), il valore composto guadagnato può essere rappresentato come

dove C è ciascuna somma forfettaria e k sono depositi ricorrenti non mensili, rispettivamente, e x e y sono le differenze di tempo tra un nuovo deposito e il periodo totale che t sta modellando.

Una stima pratica per il calcolo inverso del tasso di rendimento quando la data e l'importo esatti di ciascun deposito ricorrente non sono noti, una formula che presuppone un deposito mensile ricorrente uniforme nel periodo, è: ^[13] o

Vedi anche

Riferimenti