Come si calcola la differenza di potenziale

3.1 Energia potenziale elettrica: Differenza di potenziale

Riassunto

Definire il potenziale elettrico e l'energia potenziale elettrica.
Descrivere la relazione tra differenza di potenziale ed energia potenziale elettrica. Spiegare l'elettronvolt
e il suo utilizzo nel processo submicroscopico.
Determinare l'energia potenziale elettrica data la differenza di potenziale e la quantità di carica.

Quando una carica positiva libera q è accelerato da un campo elettrico, come mostrato nella Figura 1, gli viene data energia cinetica. Il processo è analogo a quello di un oggetto che viene accelerato da un campo gravitazionale. È come se la carica scendesse da una collina elettrica dove la sua energia potenziale elettrica viene convertita in energia cinetica. Esploriamo il lavoro svolto su una carica q dal campo elettrico in questo processo, in modo da poter sviluppare una definizione di energia potenziale elettrica.

La forza elettrostatica o di Coulomb è conservativa, il che significa che il lavoro svolto su q è indipendente dal percorso intrapreso. Questo è esattamente analogo alla forza gravitazionale in assenza di forze dissipative come l'attrito. Quando una forza è conservativa, è possibile definire un'energia potenziale associata alla forza, e di solito è più facile gestire l'energia potenziale (perché dipende solo dalla posizione) piuttosto che calcolare direttamente il lavoro.

Usiamo le lettere PE per indicare l'energia potenziale elettrica, che ha unità di joule (J). La variazione dell'energia potenziale, ΔPE, è cruciale, poiché il lavoro svolto da una forza conservativa è il negativo della variazione dell'energia potenziale; cioè, Lavoro = – ΔPE Ad esempio, lavoro, simbolo W , fatto per accelerare a la carica positiva da riposo è positiva e deriva da una perdita di PE, o di un ΔPE negativo. Ci deve essere un segno meno davanti a ΔPE per rendere Work o W positivi. Il PE può essere trovato in qualsiasi punto prendendo un punto come riferimento e calcolando il lavoro necessario per spostare una carica nell'altro punto.

Energia potenziale

Lavoro = W = – ΔPE Ad esempio, il lavoro svolto per accelerare una carica positiva da fermo è positivo e deriva da una perdita di PE, o da un ΔPE negativo Ci deve essere un segno meno davanti a ΔPE per rendere Lavoro o W positivo. Il PE può essere trovato in qualsiasi punto prendendo un punto come riferimento e calcolando il lavoro necessario per spostare una carica nell'altro punto. Rivedi le leggi di Newton e la definizione di Lavoro ed Energia se questo ha senso per te.

L'energia potenziale gravitazionale e l'energia potenziale elettrica sono abbastanza analoghe. L'energia potenziale rappresenta il lavoro svolto da una forza conservativa e fornisce ulteriori informazioni sull'energia e sulla trasformazione dell'energia senza la necessità di trattare direttamente con la forza. È molto più comune, ad esempio, utilizzare il concetto di tensione (relativo all'energia potenziale elettrica) piuttosto che trattare direttamente la forza di Coulomb.

Calcolare direttamente il lavoro è generalmente difficile, poiché Work = W = F d cos θ e la direzione e la grandezza di F possono essere complesse per cariche multiple, per oggetti di forma dispari e lungo percorsi arbitrari. Ma sappiamo che, poiché Forza elettrica = F = q E , il lavoro, e quindi ΔPE , è proporzionale alla carica di prova q . Per avere una grandezza fisica indipendente dalla carica di prova, definiamo elettrico potenziale V (o semplicemente potenziale, poiché si intende elettrico) è l'energia potenziale per unità di carica:

Potenziale elettrico

Questa è l'energia potenziale elettrica per unità di carica.

Poiché PE è proporzionale a q , la dipendenza da q si annulla. Quindi V non dipende da q . La variazione dell'energia potenziale ΔPE è cruciale, e quindi ci occupiamo della differenza di potenziale o della differenza di potenziale ΔV tra due punti, dove

La differenza di potenziale tra i punti A e B, ΔV = V_B – V_A , è quindi definita come la variazione dell'energia potenziale ΔPE di una carica q spostata da A a B, diviso per l'addebito. Le unità di differenza di potenziale sono joule per coulomb, dato il nome volt (V) da Alessandro Volta.

1 V = 1 J / C

Differenza di potenziale

La differenza di potenziale tra i punti A e B, ΔV = V_B – V_A , è quindi definita come la variazione dell'energia potenziale ΔPE di una carica q spostata da A a B, divisa per la carica. Le unità di differenza di potenziale sono joule per coulomb, dato il nome volt (V) da Alessandro Volta.

1 V = 1 J / C

Il termine familiare tensione è il nome comune per la differenza di potenziale. Tieni presente che ogni volta che viene citata una tensione, si intende che si tratta della differenza di potenziale tra due punti. Ad esempio, ogni batteria ha due terminali e la sua tensione è la differenza potenziale tra loro. Più fondamentalmente, il punto che scegli di essere a zero volt è arbitrario. Questo è analogo al fatto che l'energia potenziale gravitazionale ha uno zero arbitrario, come il livello del mare o forse il pavimento di un'aula.

In sintesi, la relazione tra differenza di potenziale (o tensione) ed energia potenziale elettrica è data da

Differenza di Potenziale ed Energia Potenziale Elettrica

In sintesi, la relazione tra differenza di potenziale (o tensione) ed energia potenziale elettrica è data da

La tensione non è la stessa cosa dell'energia. La tensione è l'energia per unità di carica. Così una batteria per moto e una batteria per auto possono avere entrambe la stessa tensione (più precisamente, la stessa differenza di potenziale tra i terminali della batteria), ma una immagazzina molta più energia dell'altra poiché ΔPE = q ΔV . L'auto la batteria può spostare più carica rispetto alla batteria della motocicletta, sebbene entrambe siano batterie da 12 V.

Esempio 1: Calcolo dell'energia

Supponiamo di avere una batteria per moto da 12,0 V in grado di spostare 5000 C di carica e una batteria per auto da 12,0 V in grado di spostare 60.000 C di carica. Quanta energia eroga ciascuno? (Supponiamo che il valore numerico di ogni carica sia accurato a tre cifre significative.)

Strategia

Dire che abbiamo una batteria da 12,0 V significa che i suoi terminali hanno una differenza di potenziale di 12,0 V. Quando una tale batteria sposta la carica, mette la carica attraverso una differenza di potenziale di 12,0 V, e alla carica viene data una variazione di energia potenziale pari a ΔPE = q ΔV .

Quindi, per trovare l'energia prodotta, moltiplichiamo la carica mossa per la differenza di potenziale.

Soluzione

Per la batteria della motocicletta, q = 5000 C e ΔV = 12,0 V . L'energia totale erogata dalla batteria della moto è

Allo stesso modo, per la batteria dell'auto, q = 60.000 C e

Discussione

Sebbene la tensione e l'energia siano correlate, non sono la stessa cosa. Le tensioni delle batterie sono identiche, ma l'energia fornita da ciascuna è molto diversa. Si noti inoltre che quando una batteria è scarica, parte della sua energia viene utilizzata internamente e la tensione dei suoi terminali diminuisce, ad esempio quando i fari si abbassano a causa di una batteria scarica. L'energia fornita dalla batteria viene ancora calcolata come in questo esempio, ma non tutta l'energia è disponibile per l'uso esterno.

Si noti che le energie calcolate nell'esempio precedente sono valori assoluti. La variazione dell'energia potenziale per la batteria è negativa, poiché perde energia. Queste batterie, come molti sistemi elettrici, si muovono effettivamente carica negativa, in particolare gli elettroni. Le batterie respingono gli elettroni dai loro terminali negativi (A) attraverso qualsiasi circuito coinvolto e li attirano verso i loro terminali positivi (B) come mostrato nella Figura 2. La variazione di potenziale è ΔV = V_B -V_A = +12 V e la carica q è negativa, in modo che ΔPE = q ΔV è negativa, il che significa che l'energia potenziale della batteria è diminuita quando q si è spostato da A a B.

Esempio 2: Quanti elettroni si muovono attraverso un faro al secondo?

Quando una batteria di un'auto da 12,0 V fa funzionare un singolo faro da 30,0 W, quanti elettroni la attraversano ogni secondo?

Strategia

Per trovare il numero di elettroni, dobbiamo prima trovare la carica che si è mossa in 1,00 s. La carica spostata è correlata alla tensione e all'energia attraverso l'equazione ΔPE = q ΔV . Una lampada da 30,0 W utilizza 30,0 joule al secondo. Poiché la batteria perde energia, abbiamo ΔPE = – 30.0 J e, poiché gli elettroni vanno dal terminale negativo a quello positivo, vediamo che ΔV = +12.0 V

Soluzione

Per trovare la carica q spostata, risolviamo l'equazione ΔPE = q ΔV :

q = ΔPE / ΔV

Inserendo i valori di ΔPE e ΔV otteniamo

q = ΔPE / ΔV = (-30,0 J) / ( +12,0 V) = -2,50 C

Il numero di elettroni e è la carica totale divisa per la carica per elettrone. Cioè,

Discussione

Questo è un numero molto grande. Non c'è da meravigliarsi che non osserviamo ordinariamente singoli elettroni con così tanti sono presenti nei sistemi ordinari. In effetti, l'elettricità era stata utilizzata per molti decenni prima che fosse stabilito che le spese di spostamento in molte circostanze erano negative. La carica positiva che si muove nella direzione opposta alla carica negativa produce spesso effetti identici; Ciò rende difficile determinare quale si sta muovendo o se entrambi si stanno muovendo.

L'energia per elettrone è molto piccola in situazioni macroscopiche come quella dell'esempio precedente: una minuscola frazione di joule. Ma su scala submicroscopica, tale energia per particella (elettrone, protone o ione) può essere di grande importanza. Ad esempio, anche una piccola frazione di joule può essere sufficiente perché queste particelle distruggano le molecole organiche e danneggino i tessuti viventi. La particella può fare il suo danno per collisione diretta, oppure può creare raggi X dannosi, che possono anche infliggere danni. È utile avere un'unità di energia correlata agli effetti submicroscopici. Figura 3 mostra una situazione relativa alla definizione di tale unità di energia. Un elettrone viene accelerato tra due piastre metalliche cariche come potrebbe essere in un tubo televisivo o in un oscilloscopio di vecchio modello. All'elettrone viene data energia cinetica che viene successivamente convertita in un'altra forma, ad esempio la luce nel tubo della televisione. (Si noti che la discesa per l'elettrone è la salita per una carica positiva.) Poiché l'energia è correlata alla tensione da ΔPE = q ΔV , possiamo pensare al joule come a un coulomb-volt.

Su scala submicroscopica, è più conveniente definire un'unità di energia chiamata elettronvolt (eV), che è l'energia data a una carica fondamentale accelerata attraverso una differenza di potenziale di 1 V. In forma di equazione,

Elettrone Volt

Su scala submicroscopica, è più conveniente definire un'unità di energia chiamata elettronvolt (eV), che è l'energia data a una carica fondamentale accelerata attraverso una differenza di potenziale di 1 V. In forma di equazione,

a un elettrone accelerato attraverso una differenza di potenziale di 1 V viene data un'energia di 1 eV. Ne consegue che un elettrone accelerato attraverso 50 V riceve 50 eV. Una differenza di potenziale di 100.000 V (100 kV) darà a un elettrone un'energia di 100.000 eV (100 keV), e così via. Allo stesso modo, a uno ione con una doppia carica positiva accelerata attraverso 100 V verranno dati 200 eV di energia. Queste semplici relazioni tra la tensione di accelerazione e le cariche di particelle rendono l'elettronvolt un'unità di energia semplice e conveniente in tali circostanze.

L'elettronvolt (eV) è l'unità di misura dell'energia più comune per i processi submicroscopici. Ciò sarà particolarmente evidente nei capitoli sulla fisica moderna. L'energia è così importante per così tanti soggetti che C'è la tendenza a definire un'unità di energia speciale per ogni argomento principale. Ci sono, ad esempio, le calorie per l'energia alimentare, i kilowattora per l'energia elettrica e le terme per l'energia del gas naturale.

L'elettronvolt è comunemente impiegato in processi submicroscopici: le energie di valenza chimica e le energie di legame molecolare e nucleare sono tra le grandezze spesso espresse in elettronvolt. Ad esempio, sono necessari circa 5 eV di energia per rompere alcune molecole organiche. Se un protone viene accelerato da fermo attraverso una differenza di potenziale di 30 kV, gli viene data un'energia di 30 keV (30.000 eV) e può rompere fino a 6000 di queste molecole ( 30.000 eV / ( 5 eV per molecola) = 6000 molecole ) . Le energie di decadimento nucleare sono dell'ordine di 1 MeV (1.000.000 eV) per evento e possono, quindi, produrre danni biologici significativi.

L'energia totale di un sistema viene conservata se non vi è aggiunta (o sottrazione) netta di lavoro o trasferimento di calore. Per le forze conservative, come la forza elettrostatica, la conservazione dell'energia afferma che l'energia meccanica è una costante.

L'energia meccanica è la somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale di un sistema, cioè ΔKE + ΔPE Una perdita di PE di una particella carica diventa un aumento del suo KE. Qui PE è l'energia potenziale elettrica. La conservazione dell'energia è espressa in forma di equazione come

ΔKE + ΔPE = costante

o ΔKE + ΔPE = costante = KE _i + PE_i = KE_f + PE_f

dove i e f stanno per condizioni iniziali e finali. Come abbiamo scoperto molte volte in precedenza, considerare l'energia può darci intuizioni e facilitare la risoluzione dei problemi.

Energia potenziale elettrica convertita in energia cinetica

Calcola la velocità finale di un elettrone libero accelerato da fermo attraverso una differenza di potenziale di 100 V. (Supponiamo che questo valore numerico sia accurato a tre cifre significative.)

Strategia

Abbiamo un sistema con solo forze conservative. Supponendo che l'elettrone sia accelerato nel vuoto, e trascurando la forza gravitazionale (verificheremo questa ipotesi più avanti), tutta l'energia potenziale elettrica viene convertita in energia cinetica. Possiamo identificare le forme iniziali e finali di energia a KE_iniziale = 0 come partito da fermo, KE _finale = ¹ /₂ m v² , PE_iniziale = qV e PE_finale = 0

Soluzione

Conservazione degli stati energetici che

ΔKE + ΔPE = costante = KE _i + PE_i = KE _f + PE_f

Inserendo le forme sopra identificate, otteniamo

qV = ¹ /₂ m v²

Risolviamo questo problema per

Inserendo i valori per q, V e m si ottiene

Discussione

Si noti che sia la carica che la tensione iniziale sono negative, come in Figura 3. Dalle discussioni precedenti nel capitolo sappiamo che le forze elettrostatiche su piccole particelle sono generalmente molto grandi rispetto alla forza gravitazionale. La grande velocità finale conferma che la forza gravitazionale è davvero trascurabile qui. La grande velocità indica anche quanto sia facile accelerare elettroni con piccole tensioni a causa della loro massa molto piccola. Tensioni molto più alte di 100 V in questo problema sono tipicamente utilizzate nei cannoni elettronici. Quelle tensioni più elevate producono velocità degli elettroni così grandi che Gli effetti relativistici devono essere presi in considerazione. Questo è il motivo per cui in questo esempio viene considerata (accuratamente) una bassa tensione.

Il potenziale elettrico è l'energia potenziale per unità di carica.
La differenza di potenziale tra i punti A e B, ΔV = V_B – V_A , definita come la variazione dell'energia potenziale di una carica q spostata da A a B, è uguale alla variazione dell'energia potenziale divisa per la carica, La differenza di potenziale è comunemente chiamata tensione, rappresentato dal simbolo ΔV o spesso solo V.

ΔV = ΔPE/q e ΔPE = q ΔV

Un elettronvolt è l'energia data a una carica fondamentale accelerata attraverso una differenza di potenziale di 1 V. In forma di equazione,
l'energia meccanica è la somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale di un sistema, cioè KE + PE. Questa somma è una costante in quanto è la Legge di Conservazione dell'Energia.

Domande concettuali

1: Tensione è la parola comune per differenza di potenziale. Quale termine è più descrittivo, differenza di tensione o di potenziale?

2: Se la tensione tra due punti è zero, è possibile spostare una carica di prova tra di loro senza eseguire alcun lavoro netto? Questo può essere fatto necessariamente senza esercitare una forza? Spiegare.

3: Qual è la relazione tra tensione ed energia? Più precisamente, qual è la relazione tra differenza di potenziale ed energia potenziale elettrica?

4: Le tensioni sono sempre misurate tra due punti. Perché?

5: In che modo le unità di volt e gli elettronvolt sono correlati? In cosa differiscono?

Problemi ed esercizi

1: Trova il rapporto tra le velocità di un elettrone e di uno ione idrogeno negativo (uno con un elettrone in più) accelerato attraverso la stessa tensione, assumendo velocità finali non relativistiche. Prendi la massa dello ione idrogeno a 1,67 x 10 ^-27 kg.

2: Un tubo evacuato utilizza una tensione di accelerazione di 40 kV per accelerare gli elettroni a colpire una piastra di rame e produrre raggi X. In modo non relativistico, quale sarebbe la velocità massima di questi elettroni?

3: Un nucleo di elio nudo ha due cariche positive e una massa di 6,64 x 10 ^-27 kg . (a) Calcolare la sua energia cinetica in joule al 2,00% della velocità della luce. (b) Che cos'è questo in elettronvolt? (c) Quale tensione sarebbe necessaria per ottenere questa energia?

4: Concetti integrati
Gli ioni di gas caricati singolarmente vengono accelerati da riposo attraverso un tensione di 13,0 V. A quale temperatura l'energia cinetica media delle molecole di gas sarà la stessa di quella data questi ioni?

5: Concetti integrati
Si pensa che la temperatura vicino al centro del Sole sia di 15 milioni di gradi Celsius o 1,5 x 10⁷ ^o C . Attraverso quale tensione deve essere accelerato uno ione caricato singolarmente per avere la stessa energia dell'energia cinetica media degli ioni a questa temperatura?

6: Concetti integrati
(a) Qual è la potenza media di un defibrillatore cardiaco che dissipa 400 J di energia in 10,0 ms? (b) Considerando l'elevata potenza, perché il defibrillatore non produce gravi ustioni?

7: Concetti integrati
Un fulmine colpisce un albero, spostando 20,0 C di carica attraverso una differenza di potenziale di 1,00 x 10² MV . (a) Che cos'era l'energia dissipato? (b) Quale massa d'acqua potrebbe essere portata da 15,0 ^° C fino al punto di ebollizione e quindi fatta bollire da questa energia? (c) Discutere il danno che potrebbe essere causato all'albero dall'espansione del vapore bollente. Rivedere i calori specifici e il calore latente di fusione dell'acqua.

8: Concetti integrati
Uno scaldabiberon a batteria da 12,0 V riscalda 50,0 g di vetro, 2,50 x10² grammi di latte artificiale e 2,00 x10² grammi di alluminio da 20,0 ^o C a 9 0,0 ^o C . (a) Quanta carica viene spostata dalla batteria? (b) Quanti elettroni al secondo scorrono se ci vogliono 5,00 minuti per riscaldare la formula? (Suggerimento: supponiamo che il calore specifico del latte artificiale sia circa lo stesso del calore specifico dell'acqua o 1 calorie / grammo per grado C o 4,186 J/g grado C)

9: Concetti integrati
Un'auto a batteria utilizza un sistema a 12,0 V. Trova la carica che le batterie devono essere in grado di spostare per accelerare l'auto di 750 kg da ferma a 25,0 m/s, farla salire su una collina alta 200 metri e poi farla viaggiare a una velocità costante di 25,0 m/s esercitando una forza costante di 500 N per un'ora.

10: Concetti integrati
La probabilità di fusione aumenta notevolmente quando i nuclei appropriati vengono avvicinati tra loro, ma la reciproca repulsione di Coulomb deve essere superata. Questo può essere fatto utilizzando l'energia cinetica degli ioni di gas ad alta temperatura o accelerando i nuclei l'uno verso l'altro. (a) Calcolare l'energia potenziale di due nuclei carichi singolarmente separati da 1,00 x 10^-12 m trovando la tensione di uno a quella distanza e moltiplicando per la carica dell'altro. (b) A quale temperatura saranno gli atomi di un gas avere un'energia cinetica media uguale a questa energia potenziale elettrica necessaria?

11: Risultati irragionevoli
(a) Trovare la tensione vicino a una sfera metallica di 10,0 cm di diametro che contiene 8,00 C di carica positiva in eccesso. (b) Cosa c'è di irragionevole in questo risultato? (c) Quali sono le ipotesi responsabili?

12: Costruisci il tuo problema
Considera una batteria utilizzata per fornire energia a un telefono cellulare. Costruisci un problema in cui determini l'energia che deve essere fornita dalla batteria, e poi calcoli la quantità di carica che deve essere in grado di spostare per fornire questa energia. Tra le cose da considerare ci sono il fabbisogno energetico e la tensione della batteria. Potrebbe essere necessario guardare avanti per interpretare i valori nominali della batteria del produttore in ampere-ora come energia in joule.

Glossario

Potenziale elettrico: potenziale energia per unità differenza di potenziale di carica

(o tensione): variazione dell'energia potenziale di una carica spostata da un punto all'altro, divisa per la carica; le unità di differenza di potenziale sono joule per coulomb, noto come volt

elettronvolt: l'energia data a una carica fondamentale accelerata attraverso una differenza di potenziale di un volt

energia meccanica: somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale di un sistema; Questa somma è una costante

Soluzioni Problemi & Esercizi

1: 42.8 Normalmente facciamo rapporti più grandi di 1, ma 0.0234 è anche accettabile come risposta.

4: 1.00 x 10⁵ K

6: ( a) 4 x 10⁴ W (b) Un defibrillatore non provoca gravi ustioni perché la pelle conduce bene l'elettricità a ad alta tensione, come quelle utilizzate nei defibrillatori. Il gel utilizzato aiuta nel trasferimento di energia al corpo e la pelle non assorbe l'energia, ma piuttosto la lascia passare attraverso il cuore.

8: (a) 7,40 x 10³ ^o C (b) 1,54 x 10²⁰ elettroni al secondo

9: 3,89 x 10^6 ^o C

11: (a) 1,44 x 10¹² V (b) Questa tensione è molto alta. Una sfera di 10,0 cm di diametro non potrebbe mai mantenere questa tensione; si sarebbe scaricato. (c) Una carica di 8,00 C è una carica maggiore di quella che può essere ragionevolmente accumulata su una sfera di quelle dimensioni.